Problemas imposibles y la culpabilidad de Π (Pi)

Os quería hablar de los límites que imponen las matemáticas, de la posibilidad y la imposibilidad y, aprovechando la ocasión poneros este extracto de un episodio de la serie "Universo Matemático" titulado "Historia de Pi".



Y es que las matemáticas pueden resultar en su implacable lógica algo caprichosas y decidir que algo no es posible. Como, por ejemplo, la celebérrima cuadratura del círculo. Para los neófitos, la cuadratura del círculo es un problema que ya se intentó resolver en la Antigua Grecia y que estuvo abierto hasta el siglo XIX. El problema propone, dado un círculo, construir mediante métodos de regla y compás (ya que en la imaginación todo es posible y eso sería trampa) un cuadrado de área igual a la del cículo dado. Tras siglos y siglos vagando por yermos matemáticos, al final se demostró que tal empresa era imposible llevarla a cabo.

La tarea que se os encomienda es encontrar afirmaciones de carácter matemático que sean falsas o imposibles y si os es posible averiguad y comentad brevemente, mejor con vuestras palabras, a qué se debe tal falsedad. Por ejemplo, la cuadratura del círculo no es posible por que eso implicaría que el número pi (Π) es un número algebraico, es decir, que puede ser obtenido como solución de una ecuación polinómica de coeficientes racionales lo cual es falso (esta última también valdría como ejemplo de falso enunciado demostrado, pero su explicación es bastante complicada y escapa a las expectativas de este blog), otro enunciado sería que Π no puede ser expresado como cociente dos números enteros al ser un número irracional, aunque también valen ejemplos más sencillos como que el cuadrado de cualquier número real no puede ser negativo. Me interesa especialmente que encontréis las otras dos célebres construcciones con regla y compás que resultaron ser imposibles.

Aunque es un hecho muy común, habrá bastante gente que desconozca que existen gran cantidad de resultados matemáticos que demuestran, en ocasiones usando técnicas complejísimas, que "algo" existe o no (aunque no se diga como encontrar ese "algo", en caso de que exista) o bien que una "simple" afirmación es cierta o no. Estos "objetos" o "afirmaciones" son condenados por las matemáticas a la existencia o al limbo, estos entes pueden ser muy abstractos o tan cercanos como una "sencilla" construcción con regla y compás. Este hecho nos debe hacer pensar que las tan intangibles matemáticas, pueden no serlo tanto e incluso modelar los límites mismos de nuestra realidad.

Bueno, dejo de divagar y de regalo os dejo esta canción: Plug in baby del album Origin of simmetry (todo lo que aparece por aquí ha de tener algo de matemático) de Muse.





Y, además, la segunda parte del capítulo de "Universo Matemático":