Geoplano y fórmula de Pick

El geoplano es una herramienta muy útil para trabajar muchos de los conceptos geométricos que se tratan en la E.S.O. . Un geoplano no es más que un tablero sobre el que hay una serie de pivotes dispuestos, generalmente, formando una cuadrícula (aunque también los hay que están dispuestos en círculos concéntricos). Con la ayuda inestimable de unas gomillas se pueden formar una grandísima variedad de polígonos utilizando los pivotes para situar sus vértices.

En el siguiente enlace podrás usar un geoplano virtual para montar polígonos y comprobar qué área y perímetro tienen.

El objetivo de esta actividad será que deduzcáis la fórmula o teorema de Pick. La fórmula de Pick es una expresión algebraica que depende de dos variables: F, que es el número de pivotes que un polígono del geoplano tiene en su frontera o borde; e I, que es el número de pivotes que el mismo polígono tiene en su interior. Si construimos cualquier polígono simplemente conexo (es decir, sin agujeros) en el geoplano y sustituimos las variables F e I por el números de pivotes que tiene el polígono en su frontera y en su interior, el resultado es el área de dicho polígono (tomando como unidad de medida la superficie de un cuadrado mínimo del geoplano). Seguid los siguientes pasos:

• Construid polígonos con el geoplano que no tengan puntos en su interior y anota tanto su área como el número de puntos que tienen en su frontera (F). Tras unos cuantas construcciones, cuantas más mejor, intentad crear una fórmula que dependa de F y cuyo valor sea el área de cada polígono.
• Ahora que ya tenéis una parte de la fórmula de Pick os falta añadirle un sumando que depende del número de puntos en el interior de cada polígono (I) para que la fórmula de Pick abarque casos más generales. Para ello obraréis como en el apartado anterior, pero construyendo polígonos que tengan pivotes en su interior y anotando, además de su área y el número de pivotes en su borde, cuántos pivotes tiene en su interior. Cuando tengáis una buena colección de datos, intentad deducir la fórmula de Pick general.
• Cuando creáis que tenéis la fórmula de Pick, ponedla en un comentario junto con el número de polígonos que habéis tenido que construir para hallarla.

Si lo intentáis pero os dais por vencidos, cosa que puede ocurrir pues puede resultar un poco difícil, podéis encontrar en el siguiente enlace la fórmula de Pick (en ese caso no comentéis poniendo la fórmula de Pick, pero si escribid qué dificultades habéis encontrado). Si, por el contrario, no os ha llevado mucho el deducir la fórmula podéis intentar averiguar la fórmula de Pick general, que también sirve para polígonos con agujeros (y que tiene una variable más, E, que es el número de agujeros del polígono.)