Problemas imposibles y la culpabilidad de Π (Pi)

Os quería hablar de los límites que imponen las matemáticas, de la posibilidad y la imposibilidad y, aprovechando la ocasión poneros este extracto de un episodio de la serie "Universo Matemático" titulado "Historia de Pi".



Y es que las matemáticas pueden resultar en su implacable lógica algo caprichosas y decidir que algo no es posible. Como, por ejemplo, la celebérrima cuadratura del círculo. Para los neófitos, la cuadratura del círculo es un problema que ya se intentó resolver en la Antigua Grecia y que estuvo abierto hasta el siglo XIX. El problema propone, dado un círculo, construir mediante métodos de regla y compás (ya que en la imaginación todo es posible y eso sería trampa) un cuadrado de área igual a la del cículo dado. Tras siglos y siglos vagando por yermos matemáticos, al final se demostró que tal empresa era imposible llevarla a cabo.

La tarea que se os encomienda es encontrar afirmaciones de carácter matemático que sean falsas o imposibles y si os es posible averiguad y comentad brevemente, mejor con vuestras palabras, a qué se debe tal falsedad. Por ejemplo, la cuadratura del círculo no es posible por que eso implicaría que el número pi (Π) es un número algebraico, es decir, que puede ser obtenido como solución de una ecuación polinómica de coeficientes racionales lo cual es falso (esta última también valdría como ejemplo de falso enunciado demostrado, pero su explicación es bastante complicada y escapa a las expectativas de este blog), otro enunciado sería que Π no puede ser expresado como cociente dos números enteros al ser un número irracional, aunque también valen ejemplos más sencillos como que el cuadrado de cualquier número real no puede ser negativo. Me interesa especialmente que encontréis las otras dos célebres construcciones con regla y compás que resultaron ser imposibles.

Julio Cortázar y las escaleras

Aquí dejo un vídeo con el relato "Instrucciones para subir una escalera" de Julio Cortázar. Esta obra es una genialidad que, de paso, usa bastantes términos de geometría y da ejemplo de su utilidad para describir precisamente el mundo que nos rodea.



Como actividad me gustaría que compongáis un pequeño texto en el que describáis algún objeto, animal, persona, idea, ... usando términos matemáticos.

Transformaciones de funciones

Con el siguiente graficador (esta palabra creo que me la acabo de inventar) de funciones podéis experimentar de manera rápida, fácil y precisa las distintas transformaciones de funciones. Si no recordáis lo que es una transformación de una función, tenéis que saber que no es más que cambiar la expresión original de una función, f(x), por otra del estilo f(x)+k, f(x+k), k·f(x) o f(k·x) donde k es una constante (es decir, un número fijo) distinta de 0. Estas transformaciones en la expresión algebraica de una función provocan, como ya muchos sabrán, transformaciones geométricas en la gráfica de la función.

Investigad usando la aplicación del enlace y distintas funciones y transformaciones, para ver qué efecto provocan cada una de las transformaciones sobre sus gráficas. En rojo dejad la función original e id implementando sus transformadas en azul.

Me gustaría que me dijerais qué transformación se le ha de aplicar a la función f(x)=x² para que su gráfica pase por el punto del plano (1,-1) y qué transformación necesito para que haga lo propio con el punto (2,0) (la solución no es única, de hecho hay infinitas, por tanto si alguien ya ha comentado alguna aún podéis dar respuestas nuevas).

Geoplano y fórmula de Pick

El geoplano es una herramienta muy útil para trabajar muchos de los conceptos geométricos que se tratan en la E.S.O. . Un geoplano no es más que un tablero sobre el que hay una serie de pivotes dispuestos, generalmente, formando una cuadrícula (aunque también los hay que están dispuestos en círculos concéntricos). Con la ayuda inestimable de unas gomillas se pueden formar una grandísima variedad de polígonos utilizando los pivotes para situar sus vértices.

En el siguiente enlace podrás usar un geoplano virtual para montar polígonos y comprobar qué área y perímetro tienen.

El objetivo de esta actividad será que deduzcáis la fórmula o teorema de Pick. La fórmula de Pick es una expresión algebraica que depende de dos variables: F, que es el número de pivotes que un polígono del geoplano tiene en su frontera o borde; e I, que es el número de pivotes que el mismo polígono tiene en su interior. Si construimos cualquier polígono simplemente conexo (es decir, sin agujeros) en el geoplano y sustituimos las variables F e I por el números de pivotes que tiene el polígono en su frontera y en su interior, el resultado es el área de dicho polígono (tomando como unidad de medida la superficie de un cuadrado mínimo del geoplano). Seguid los siguientes pasos:

Problema

Para recordar conceptos y, de paso, comprobéis que todo está relacionado, sobre todo en matemáticas, os dejo aquí este problema.

Un electricista utiliza una escalera que mide  seis metros para arreglar un farol situado en una pared (como se muestra en la imagen). Si apoya el pie de la escalera a un metro y medio de la pared, ¿a qué altura se encuentra el farol? 

Pista: has de recordar sobre qué versaba el teorema de Pitágoras y algo de ecuaciones (de un tipo muy determinado).

¿Se os ocurre alguna otra aplicación a la realidad del teorema de Pitágoras?

To start with...

Aquí empieza una aventura en la que trataré de aprender haciendo aprender a cualquiera que quiera darse una vuelta por este humilde blog (no quiero restringirme únicamente a mis alumnos y alumnas). Quiero ayudaros a que conozcáis un poco más las matemáticas, tanto las más básicas y útiles en el día a día hasta las más curiosas y divertidas (aunque os parezca imposible usar en la misma frase las palabras matemáticas y divertidas), además, y esto sí está dirigido a mis alumnos y alumnas, este blog también será un soporte para incluir actividades que no son posibles realizar en clase pero que sin duda serán la mar de interesantes y os ayudarán a comprender un poco mejor los contenidos que tratamos día a día y a practicar todos los procedimientos que tenéis que manejar para que la profesora os ponga una muy buena nota a final de curso.
Pero espero que este cauce de información sea bidireccional, que comentéis, que respondáis a las preguntas que dejo abiertas y que realicéis aportes para que este blog mejore día a día y lo hagáis tan vuestro como mío.